alni: (Самолётик)
[personal profile] alni

Возьмем кучку одинаковых кружков. Ну например, монеток. В 1 рубль. Пока эти рубли еще напрочь не девальвировали.
Положим один рубль на стол и начнем выкладывать вокруг него другие рубли, так, чтобы они касались друг друга, но не накладывались сверху. У нас получится что-то вроде такого:

Кружок в середине и вокруг него шесть других кружков. Или рублей. Таким образом мы наглядно, геометрически, показали, что вокруг одного двумерного рубля можно расположить ровно 6 других двумерных рублей. Теперь усложним задачу. Заглянем в недалекое будущее, когда двумерный рубль напрочь девальвирован и наши инноваторы для его замены придумали не какую-нибудь тривиальность вроде монетки с дырочкой, как в Скандинавии, а эдакий трехмерный, 3d -рубль. Что это такое? Да это же просто обычный шарик! Попробуем взять кучку этих шариков и сообразить, сколько вокруг одного такого трехмерного рубля можно расположить других таких же 3d-рублей.

Оказывается, это непростая задача! Когда-то сам Ньютон с другим ученым - Грегори, схлестнулись в жесткой научной дискуссии о количестве таких шариков. Некоторые современные историки говорят, что эта схватка была обусловлена девальвировавшим стерлингом, после того, как тогдашняя Англия сдуру хапнула Крым. Да, уже тогда ученые задумывались о трехмерных монетах во спасение империи. Но, поскольку, Ньютон с Грегори так и не сумели прийти к консенсусу, палата лордов вместо 3d стерлинга ввела фунт стерлингов, отдала Крым и всё на этом успокоилось, правда, английские деньги с тех пор меряются на вес.
Но задача так и оставалась нерешенной 300 лет, вплоть до середины прошлого века.
А как вы думаете, сколько можно расположить одинаковых шаров вокруг одного такого же шара?

Так вот, Ньютон полагал, что их 12, а Грегори - 13. Куча исследователей пытались решить эту задачу, хотя она была не так известна, как, скажем, теорема Ферма, но казалась такой же простой. И только в 1953 году Шютте и ван дер Варден строго, геометрически, доказали правоту Ньютона. Шариков оказалось 12.
Но к тому моменту математики задумались о уже больших размерностях.. Видимо, предвидели печальную судьбу двумерного и трехмерного рубля, после которого логически следует четырех-, пяти- и прочие, вплоть до сотен- мерные шары.
Как себе представить четырехмерный шар я ума не приложу, но математики как-то с этим справляются и щелкают десятками и сотнями размерностями, так что только треск стоит. Они обозвали задачу расположения многомерных шаров задачей о нахождении контактного числа евклидова пространства, а основной метод, который говорит, сколько мы шаров приложить уже никак не сможем, называется методом Дельсарта, в честь одного из математиков, посвятившего ему свою жизнь. К настоящему времени задача решена для 4-мерных шаров, вокруг которых можно расположить 24 таких же шара. Для 8-мерных это число 240. Для 24-мерных - 196560. И, собственно, все. Для остальных размерностей полный туман.
Но для чего это нужно? С падающим рублем понятно, а для более реальных задач? Оказывается, эта задача возникает во многих разделах математики, в вычислительной математике, при построении квадратурных формул на сфере (проблема дизайнов), в теории приближения функций, в задачах кодирования, хранения и передачи информации и многих других. Оттого-то в нее и вгрызаются упорно и посвящают ей научные труды и диссертации.
Так вот, переходим к нашей диссертации. Вот несколько страниц из нее:

Страница 8






Страница 16






Страница 25






Страница 75




Здорово, да? А главное, все понятно..
..понятно, что можно заработать изрядную головную боль и комплекс неполноценности, пробираясь сквозь эти ряды интегралов и нагромождения строгих математических формул.
Поэтому, перейдем сразу к главе результатов в автореферате.

Тут нам наиболее понятен второй пункт. В общем, к известным размерностям 2, 3, 4, 8, 24 в копилку науки, благодаря этой диссертации, добавлены еще 11 размерностей!
А об остальном нам скажут рецензенты, ученые, специализирующиеся в этой области математики.

... д. ф.-м. н. А.Г.Бабенко отметил высокий уровень работы, применение методов из множества различных областей математики и использование численных методов на компьютере для получения строгих математических доказательств.
... д. ф.-м. н., профессор В.В.Арестов отметил, что соискатель предложил несколько новых интересных идей при создании методов решения задачи Дельсарта и получил с помощью них результаты высокого научного уровня.
... Разработанные методы могут быть использованы для решения задач бесконечномерного линейного программирования типа задачи Дельсарта. Например, для исследования задачи об упаковке в размерностях 8 и 24. Свойства новых экстремальных многочленов в больших размерностях могут быть применены для уточнения скорости роста контактных чисел по размерности пространства. Методы вычислительной коммутативной алгебры, полуопределенного программирования и интервальной арифметики, примененные в работе, могут быть использованы для исследования других родственных задач с использованием компьютера.
.. в работе получены тонкие, глубокие, интересные результаты в актуальной тематике, они вносят существенный вклад в исследование задачи Дельсарта и родственных экстремальных задач. Работа насыщена математикой. Применяются результаты и методы нескольких разделов математики: теории функций, функционального анализа, вычислительной коммутативной алгебры, полуопределенного программирования и интервальной арифметики, вычислительной математики. Существенно и результативно используются приближенные и точные (символьные) выкладки на компьютере. Автор грамотный математик, работает инициативно, проявляет большую самостоятельность.
Результаты диссертации хорошо опубликованы в трех работах без соавторов в журнале, рекомендованном ВАК, и семи тезисах конференций различного уровня. Они регулярно докладывались на научных семинарах Уральского федерального университета и Института математики и механики УрО РАН.
... д. ф.-м. н., профессор Института прикладной математики Тульского гос университета, Д.В.Горбачев: Автор значительно усовершенствует аналитические методы решения задачи Un за счет привлечения идей решения больших систем полиномиальных уравнений специального вида при помощи базисов Гребнера, интервальной арифметики и полуопределенного программирования. Эти методы будут востребованы как в задачах дельсартовского типа для кодов, дизайнов и энергии,так и в других важных приложениях. В диссертации получены интересные и глубокие результаты, проделана большая содержательная работа.
...д. ф.-м. н., с.н.с., зав. отделом прикладной математики ИСЭМ СО РАН, О.В.Хамисов: Тематика работы тесно связана с решением важнейших задач дискретной геометрии. Подобные задачи имеют красивую и в то же время простую математическую подстановку, но их решение может оказаться исключительно трудным. Решение, даже частичное, этих задач само по себе есть событие исключительное. Результаты,полученные в этой области имеют большое прикладное значение, например, в разделах теории информации, занимающихся исследованием и разработкой кодов, исправляющих ошибки. В разработке методов и алгоритмов решения задачи Дельсарта автору удалось добиться несомненных успехов. Получен ряд важных результатов относительно существования экстремальных многочленов, оценок экстремальных функций и значений экстремальных мер.
... д. ф.-м. н., профессор, зав кафедрой математической физики ФГБОУ ВПО Саратовский гос университет, В.А.Юрко: В рассматриваемой работе задача Дельсарта сводится к задаче полуопределенного программирования, что существенно ускоряет процесс выработки гипотезы о ключевых свойствах экстремального полинома.. В диссертационной работе найдено решение задачи Дельсарта еще в 11 новых случаях больших размерностей.. Обнаружилось новое явление - у экстремального полинома имеется две группы подряд идущих зануляющихся коэффициентов Фурье-Гегенбауэра, а в исследованных ранее случаях была лишь одна группа... Для исследлвания m=3 автор применил интервальную арифметику, доказал интервальный аналог теоремы Штурма. Ему удалось доказать единственность решения задачи Дельсарта и ей двойственной, получить близкие двусторонние оценки параметров решения и значения задачи Дельсарта. Автор создал метод решения задачи Дельсарта, построил соответствующий алгоритм, разработал комплекс программ и проверил их работоспособность. Он еще раз подтвердил, что точное решение задач дельсартовского типа невозможно без применения мощных вычислителей и современных аналитических пакетов. Результаты диссертации могут быть использованы в организациях и научных институтах, занимающихся проблемами хранения и передачи информации, теории приближения функций, численными методами.

И вот так вчера проходила защита диссертации




Диссертационный совет




Обсуждение, голосование. Некоторые выступавшие говорили, что здесь материала хватит на несколько кандидатских диссертаций, а уровень диссертации не кандидатский, а сразу докторский!




Поздравления академика, директора института с успешной защитой



+1 кандидат физико-математических наук.




От себя еще добавлю из того, что услышал на защите. Оказывается, аналитический метод, которым решается задача, сложен не только жуткими формулами, но и требует громадной вычислительной мощности. Еще несколько лет назад я помогал диссертанту собирать дома навороченный компьютер, с 4-ядерным процессором и 32 гигабайтами памяти, а в те времена наиболее ходовыми были 2-ядерники и 4 гиг на борту. Теперь стало понятно, для чего это было надо. Впрочем, быстро выяснилось, что такой вычислитель для задачи тоже слаб. Потом задача считалась на кластере института математики и напрочь забивала все его сотни процессоров и терабайты памяти, но, тем не менее, за многие часы вычислений сумела найти те самые 11 размерностей.
И еще. В третьем пункте основных результатов говорится об аномальном многочлене 27 степени, который обнаружился для нашего, 3-мерного мира. И мне подумалось, что здесь возникает какая-то глубинная взаимосвязь с законами нашей вселенной, почему она получилась именно трехмерной, а не какой-нибудь 4- или 5-мерной. И, возможно, где-то тут кроется причина схлапывания 11 измерений струнной теории в 3 измерения нашего мира.

Вот такая диссертация вышла у моего сына, ныне кандидата физико-математических наук.

Date: 2014-12-25 10:33 am (UTC)
From: [identity profile] livejournal.livejournal.com
Здравствуйте! Ваша запись попала в топ-25 популярных записей LiveJournal уральского региона (http://www.livejournal.com/?rating=ru_ural). Подробнее о рейтинге читайте в Справке (http://www.dreamwidth.org/support/faqbrowse?faqid=303).

Date: 2014-12-25 03:37 pm (UTC)
From: [identity profile] prizrak-operi.livejournal.com
Напомнило вот это:

Date: 2014-12-25 04:18 pm (UTC)
From: [identity profile] alni.livejournal.com
Прикольно :)
Сын говорит, это классика, в смысле, исходная лекция, из которой ролик сделали. И, кстати, близко к тематике его диссертации, так что ролик в тему :)

Date: 2014-12-25 04:39 pm (UTC)
From: [identity profile] prizrak-operi.livejournal.com
:) Рад, что ролик пришёлся по душе.

Про многомерные рубли - весьма познавательно и впечатляюще.

Удивило, что Ньютон и Грегори схлестнулись в жарком споре там, где правоту друг друга можно было легко проверить на опыте, использовав несколько сферических объектов одного размера (мушкетных пуль например).

Date: 2014-12-25 04:49 pm (UTC)
From: [identity profile] alni.livejournal.com
Я сам удивился, но, оказывается, шарики можно укладывать по разному и в некоторых положениях остаются маленькие щели, которые простым экспериментом сложно уловить. Поэтому и решалась эта задача 300 лет и строго решилась только новыми математическими методами..

Date: 2014-12-25 05:01 pm (UTC)
From: [identity profile] prizrak-operi.livejournal.com
Тогда понятно.

Profile

alni: (Default)
Alni

March 2016

S M T W T F S
   12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 25th, 2017 05:00 pm
Powered by Dreamwidth Studios