alni: (Самолётик)
[personal profile] alni

Возьмем кучку одинаковых кружков. Ну например, монеток. В 1 рубль. Пока эти рубли еще напрочь не девальвировали.
Положим один рубль на стол и начнем выкладывать вокруг него другие рубли, так, чтобы они касались друг друга, но не накладывались сверху. У нас получится что-то вроде такого:

Кружок в середине и вокруг него шесть других кружков. Или рублей. Таким образом мы наглядно, геометрически, показали, что вокруг одного двумерного рубля можно расположить ровно 6 других двумерных рублей. Теперь усложним задачу. Заглянем в недалекое будущее, когда двумерный рубль напрочь девальвирован и наши инноваторы для его замены придумали не какую-нибудь тривиальность вроде монетки с дырочкой, как в Скандинавии, а эдакий трехмерный, 3d -рубль. Что это такое? Да это же просто обычный шарик! Попробуем взять кучку этих шариков и сообразить, сколько вокруг одного такого трехмерного рубля можно расположить других таких же 3d-рублей.

Оказывается, это непростая задача! Когда-то сам Ньютон с другим ученым - Грегори, схлестнулись в жесткой научной дискуссии о количестве таких шариков. Некоторые современные историки говорят, что эта схватка была обусловлена девальвировавшим стерлингом, после того, как тогдашняя Англия сдуру хапнула Крым. Да, уже тогда ученые задумывались о трехмерных монетах во спасение империи. Но, поскольку, Ньютон с Грегори так и не сумели прийти к консенсусу, палата лордов вместо 3d стерлинга ввела фунт стерлингов, отдала Крым и всё на этом успокоилось, правда, английские деньги с тех пор меряются на вес.
Но задача так и оставалась нерешенной 300 лет, вплоть до середины прошлого века.
А как вы думаете, сколько можно расположить одинаковых шаров вокруг одного такого же шара?

Так вот, Ньютон полагал, что их 12, а Грегори - 13. Куча исследователей пытались решить эту задачу, хотя она была не так известна, как, скажем, теорема Ферма, но казалась такой же простой. И только в 1953 году Шютте и ван дер Варден строго, геометрически, доказали правоту Ньютона. Шариков оказалось 12.
Но к тому моменту математики задумались о уже больших размерностях.. Видимо, предвидели печальную судьбу двумерного и трехмерного рубля, после которого логически следует четырех-, пяти- и прочие, вплоть до сотен- мерные шары.
Как себе представить четырехмерный шар я ума не приложу, но математики как-то с этим справляются и щелкают десятками и сотнями размерностями, так что только треск стоит. Они обозвали задачу расположения многомерных шаров задачей о нахождении контактного числа евклидова пространства, а основной метод, который говорит, сколько мы шаров приложить уже никак не сможем, называется методом Дельсарта, в честь одного из математиков, посвятившего ему свою жизнь. К настоящему времени задача решена для 4-мерных шаров, вокруг которых можно расположить 24 таких же шара. Для 8-мерных это число 240. Для 24-мерных - 196560. И, собственно, все. Для остальных размерностей полный туман.
Но для чего это нужно? С падающим рублем понятно, а для более реальных задач? Оказывается, эта задача возникает во многих разделах математики, в вычислительной математике, при построении квадратурных формул на сфере (проблема дизайнов), в теории приближения функций, в задачах кодирования, хранения и передачи информации и многих других. Оттого-то в нее и вгрызаются упорно и посвящают ей научные труды и диссертации.
Так вот, переходим к нашей диссертации. Вот несколько страниц из нее:

Страница 8






Страница 16






Страница 25






Страница 75




Здорово, да? А главное, все понятно..
..понятно, что можно заработать изрядную головную боль и комплекс неполноценности, пробираясь сквозь эти ряды интегралов и нагромождения строгих математических формул.
Поэтому, перейдем сразу к главе результатов в автореферате.

Тут нам наиболее понятен второй пункт. В общем, к известным размерностям 2, 3, 4, 8, 24 в копилку науки, благодаря этой диссертации, добавлены еще 11 размерностей!
А об остальном нам скажут рецензенты, ученые, специализирующиеся в этой области математики.

... д. ф.-м. н. А.Г.Бабенко отметил высокий уровень работы, применение методов из множества различных областей математики и использование численных методов на компьютере для получения строгих математических доказательств.
... д. ф.-м. н., профессор В.В.Арестов отметил, что соискатель предложил несколько новых интересных идей при создании методов решения задачи Дельсарта и получил с помощью них результаты высокого научного уровня.
... Разработанные методы могут быть использованы для решения задач бесконечномерного линейного программирования типа задачи Дельсарта. Например, для исследования задачи об упаковке в размерностях 8 и 24. Свойства новых экстремальных многочленов в больших размерностях могут быть применены для уточнения скорости роста контактных чисел по размерности пространства. Методы вычислительной коммутативной алгебры, полуопределенного программирования и интервальной арифметики, примененные в работе, могут быть использованы для исследования других родственных задач с использованием компьютера.
.. в работе получены тонкие, глубокие, интересные результаты в актуальной тематике, они вносят существенный вклад в исследование задачи Дельсарта и родственных экстремальных задач. Работа насыщена математикой. Применяются результаты и методы нескольких разделов математики: теории функций, функционального анализа, вычислительной коммутативной алгебры, полуопределенного программирования и интервальной арифметики, вычислительной математики. Существенно и результативно используются приближенные и точные (символьные) выкладки на компьютере. Автор грамотный математик, работает инициативно, проявляет большую самостоятельность.
Результаты диссертации хорошо опубликованы в трех работах без соавторов в журнале, рекомендованном ВАК, и семи тезисах конференций различного уровня. Они регулярно докладывались на научных семинарах Уральского федерального университета и Института математики и механики УрО РАН.
... д. ф.-м. н., профессор Института прикладной математики Тульского гос университета, Д.В.Горбачев: Автор значительно усовершенствует аналитические методы решения задачи Un за счет привлечения идей решения больших систем полиномиальных уравнений специального вида при помощи базисов Гребнера, интервальной арифметики и полуопределенного программирования. Эти методы будут востребованы как в задачах дельсартовского типа для кодов, дизайнов и энергии,так и в других важных приложениях. В диссертации получены интересные и глубокие результаты, проделана большая содержательная работа.
...д. ф.-м. н., с.н.с., зав. отделом прикладной математики ИСЭМ СО РАН, О.В.Хамисов: Тематика работы тесно связана с решением важнейших задач дискретной геометрии. Подобные задачи имеют красивую и в то же время простую математическую подстановку, но их решение может оказаться исключительно трудным. Решение, даже частичное, этих задач само по себе есть событие исключительное. Результаты,полученные в этой области имеют большое прикладное значение, например, в разделах теории информации, занимающихся исследованием и разработкой кодов, исправляющих ошибки. В разработке методов и алгоритмов решения задачи Дельсарта автору удалось добиться несомненных успехов. Получен ряд важных результатов относительно существования экстремальных многочленов, оценок экстремальных функций и значений экстремальных мер.
... д. ф.-м. н., профессор, зав кафедрой математической физики ФГБОУ ВПО Саратовский гос университет, В.А.Юрко: В рассматриваемой работе задача Дельсарта сводится к задаче полуопределенного программирования, что существенно ускоряет процесс выработки гипотезы о ключевых свойствах экстремального полинома.. В диссертационной работе найдено решение задачи Дельсарта еще в 11 новых случаях больших размерностей.. Обнаружилось новое явление - у экстремального полинома имеется две группы подряд идущих зануляющихся коэффициентов Фурье-Гегенбауэра, а в исследованных ранее случаях была лишь одна группа... Для исследлвания m=3 автор применил интервальную арифметику, доказал интервальный аналог теоремы Штурма. Ему удалось доказать единственность решения задачи Дельсарта и ей двойственной, получить близкие двусторонние оценки параметров решения и значения задачи Дельсарта. Автор создал метод решения задачи Дельсарта, построил соответствующий алгоритм, разработал комплекс программ и проверил их работоспособность. Он еще раз подтвердил, что точное решение задач дельсартовского типа невозможно без применения мощных вычислителей и современных аналитических пакетов. Результаты диссертации могут быть использованы в организациях и научных институтах, занимающихся проблемами хранения и передачи информации, теории приближения функций, численными методами.

И вот так вчера проходила защита диссертации




Диссертационный совет




Обсуждение, голосование. Некоторые выступавшие говорили, что здесь материала хватит на несколько кандидатских диссертаций, а уровень диссертации не кандидатский, а сразу докторский!




Поздравления академика, директора института с успешной защитой



+1 кандидат физико-математических наук.




От себя еще добавлю из того, что услышал на защите. Оказывается, аналитический метод, которым решается задача, сложен не только жуткими формулами, но и требует громадной вычислительной мощности. Еще несколько лет назад я помогал диссертанту собирать дома навороченный компьютер, с 4-ядерным процессором и 32 гигабайтами памяти, а в те времена наиболее ходовыми были 2-ядерники и 4 гиг на борту. Теперь стало понятно, для чего это было надо. Впрочем, быстро выяснилось, что такой вычислитель для задачи тоже слаб. Потом задача считалась на кластере института математики и напрочь забивала все его сотни процессоров и терабайты памяти, но, тем не менее, за многие часы вычислений сумела найти те самые 11 размерностей.
И еще. В третьем пункте основных результатов говорится об аномальном многочлене 27 степени, который обнаружился для нашего, 3-мерного мира. И мне подумалось, что здесь возникает какая-то глубинная взаимосвязь с законами нашей вселенной, почему она получилась именно трехмерной, а не какой-нибудь 4- или 5-мерной. И, возможно, где-то тут кроется причина схлапывания 11 измерений струнной теории в 3 измерения нашего мира.

Вот такая диссертация вышла у моего сына, ныне кандидата физико-математических наук.

From:
Anonymous( )Anonymous This account has disabled anonymous posting.
OpenID( )OpenID You can comment on this post while signed in with an account from many other sites, once you have confirmed your email address. Sign in using OpenID.
User
Account name:
Password:
If you don't have an account you can create one now.
Subject:
HTML doesn't work in the subject.

Message:

 
Notice: This account is set to log the IP addresses of everyone who comments.
Links will be displayed as unclickable URLs to help prevent spam.

Profile

alni: (Default)
Alni

March 2016

S M T W T F S
   12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 25th, 2017 02:32 am
Powered by Dreamwidth Studios